Докажите, что для любого натурального значения n выполняется равенство
$(1- frac{1}{4} )(1- frac{1}{9} )(1- frac{1}{16} )...(1- frac{1}{(n+1)^2} )= frac{n+2}{2n+2}$

$(1-frac{1}{4})(1-frac{1}{9})*... * (1-frac{1}{(n+1)^2} ) = frac{3}{4 } * frac{8}{9} *frac{15}{16} * frac{24}{25}*...*(frac{ n^2+2n}{n^2+2n+1})$

Докажем математической индукцией , если при $n$ оно верно ,то и $n+1$ так же должно выполнятся
значит $frac{n+2}{2n+2}*(1-frac{1}{(n+2)^2})$ должно быть равно
$frac{n+3}{2(n+1)+2} = frac{n+3}{2n+4}$

$frac{n+2}{2n+2}*(1-frac{1}{(n+2)^2} ) = frac{n+2}{2n+2} * frac{n^2+4n+3}{n^2+4n+4} = frac{n+2}{2n+2}*frac{n+1}{n+2}*frac{n+3}{n+2} = frac{n+3}{2(n+2)}=frac{n+3}{ 2n+4 }$
Значит утверждение верное