Квадрат суммы цифр двузначного числа на 63 меньше учетверенного этого же числа а само число в 4 раза больше суммы его цифр . Найдите это двузначное число.

Пусть АВ - двузначное число.
Тогда:
1) $AB=10A+B$
2) $(A+B)^{2}+63=4*(10A+B)$
3) $10A+B=4*(A+B)$
где А, В - целые числа от 0 до 9.

$left { {{(A+B)^{2}+63=4*(10A+B)} atop {10A+B=4*(A+B)}} right.$

$left { {{A^{2}+2AB+B^{2}+63=40A+4B} atop {6A=3B}} right.$

$left { {{A^{2}+2AB+B^{2}+63=40A+4B} atop {2A=B}} right.$

$left { {{A^{2}+2A*(2A)+(2A)^{2}+63=40A+4*2A} atop {2A=B}} right.$

$left { {{9A^{2}-48A+63=0} atop {2A=B}} right.$

$left { {{3A^{2}-168A+21=0} atop {2A=B}} right.$

$3A^{2}-168A+21=0, D=16^{2}-4*3*21=4$
$A_{1}= frac{16-2}{6}=2$
$A_{2}= frac{16+2}{6}=3$

$left { {{A_{1}=2} atop {B_{1}=4}} right.$

$left { {{A_{2}=3} atop {B_{2}=6}} right.$

Получается два числа: 24 или 36. Проверим, какое удовлетворяет условиям задачи:
1) $(2+4)^{2}+63=4*24$
$36+63=96$ - неверно!
Значит 24 - не является искомым числом.

2) $(3+6)^{2}+63=4*36$
$81+63=144$
$144=144$ - верно.

$36=4*(3+6)$
$36=36$ - верно.

Ответ: искомое число 36