при каком значении параметра А система уравнений имеет а) одно решение б) три решения
{x^2+y^2=3 и y-x^2=A
Если (х,у) - какое-то решение системы, то т.к. х встречается только вквадрате, то (-х, у) - тоже решение, Значит количество решений системывсегда четное, за исключением случая, когда есть решение с х=0. В этомслучае y=A, и A=√3 или A=-√3.
1) Если A=√3, то y=x²+√3,
(x²+√3)²+x²=3
x⁴+(2√3+1)x²=0
x²(x²+2√3+1)=0
x=0; x²+2√3+1=0 действительных корней не имеет.
Итак, в этом случае 1 решение.
2) Если A=-√3, то y=x²-√3,
(x²-√3)²+x²=3
x⁴+(-2√3+1)x²=0
x²(x²-2√3+1)=0
x=0; x²=2√3-1>0 - дает еще два решения.
Итак, в этом случае 3 решения.
Всеэто можно понять и из графиков. Первое уравнение задает окружностьрадиусом √3, а второе - параболу y=x² сдвинутую на А по оси Оу. В силусимметрии графиков относительно оси Оу, понятно что всегда будет четноеколичество решений (либо не будет вообще). 1 решение или 3 возможны только вслучае, когда вершина параболы y=x²+A совпадает с верхней или нижнейточкой окружности, т.е. при A=√3 или А=-√3. В первом случае, очевидноодно решение. А во втором не так очевидно, что 3 решения, но это проверяется,как я сделал выше.
Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!
