Пуля, летящая с некоторой скоростью, попадает в земляной вал и входит в него на глубину 10 см.. На какую глубину войдет пуля той же массы, но
летящая со скоростью вдвое большей?

Предположение:
Пуля не деформируется.
Для начала введем систему отсчета: пусть начало координат лежит в месте вхождения пули в вал, а пуля движется вдоль оси X (в положительном направлении). Координату пули отметим функцией x(t). Начнем наблюдение в момент касания пулей вала. Тогда x(0) = 0. Под начальной скоростью пули понимаем скорость пули относительно начала отсчета в момент времени t=0, то есть $x(0) = v_0$ .

По аналогии с жидкостями, можно рассматривать вискозность земли, тогда сила, действующая на пулю (замедляющая сила) пропорциональна скорости пули с фактором b:
$F_{r} = -bv$
Земля проявляет вискозность только при достаточной скорости пули, допустим при $x(t) > v_{crit}$ .
Пренебрегая силой тяжести, а значит и движением пули по вертикали, запишем второй закон Ньютона:
$F_{r}(t) = -bx(t) = mx(t) Rightarrow mx(t) + bx(t) = 0$
Пусть $x(t) = Ce^{rt}$ . Тогда дифференциальное уравнение имеет вид
$mr^2 + br = 0$
$r_1 = 0$
$mr_2+b = 0 Rightarrow r_2 = frac{-b}{m}$
Решением является линейная комбинация функций:

То есть $x(t) = C_1e^{0t} + C_2e^{-bt/m} = C_1 + C_2e^{-bt/m}$
Тогда $v(t) = x(t) = C_2frac{-b}{m}e^{-bt/m}$
Так как $v(0)=v_0$ , $C_2frac{-b}{m}=v_0 Rightarrow C_2=frac{-mv_0}{b}$ .
$x(0) = 0 Rightarrow C_1 + C_2 = 0 Rightarrow C_1 = frac{mv_0}{b}$
$v(t) = v_0e^{-bt/m}$
Тогда
$x(t) = frac{mv_0}{b}(1 - e^{-bt/m})$
Соответственно, в любой момент времени координата пули прямо пропорциональна начальной скорости, то есть удвоение начальной скорости приведет к удвоению пройденного расстояния.
Найдем это расстояние:
Пусть момент, когда движение пули перестанет следовать законом жидкостей, означает для нас остановку пули. Тогда пуля движется до тех пор, пока
$v(t) > v_{crit}$ , то есть
$v(t_{crit}) = v_0e^{-bt_{crit}/m} = v_{crit} Rightarrow -bt_{crit}/m = ln(frac{v_crit}{v_0})$
Тогда
$t_{crit} = frac{m}{b}ln(frac{v_{0}}{v_{crit}})$
Соответственно
$x(t_{crit}) = frac{mv_0}{b}(1 - e^{-bt_{crit}/m})=frac{mv_0}{b}(1 - e^{-ln(frac{v_{0}}{v_{crit}})}$
$x(t_{crit}) = frac{mv_0}{b}(1 - frac{v_{crit}}{v_{0}}) = frac{m}{b}(v_0-v_{crit})$
При удвоении начальной скорости, конечная координата равна:
$x_{new}(t_{crit}) = frac{m}{b}(2v_0-v_{crit})$
Тогда отношение нового пути к старому равно
$frac{2v_0-v_{crit}}{v_0-v_{crit}}$ ,
При, допустим, $v_{crit} triangleq 0.1v_{0}$ , это отношение равно
$frac{1.9}{0.9} = 2.(1)$ .