Вес полого алюминиевого шарика в воздухе P0 = 0,54 Н, в воде P1 = 0,24 Н, а в керосине P2 =0,30 Н. Найдите объём шара и объём полости. Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с2 . Плотность алюминия ρ0 = 2,7 г/см3 , плотность воды ρ1 = 1,0 г/см3 , плотность керосина ρ2 = 0,8 г/см3 .

Дано:
$P_0=0,54H$
$P_1=0,24H$
$P_2=0,3H$
$g=10 frac{H}{kg}$
$p_0=2,7 frac{g}{cm^3}$
$p_1=1 frac{g}{cm^3}$
$p_2=0,8 frac{g}{cm^3}$
$-----$
$V_t-?$
$V_p-?$

Решение:
$P_1=P_0-F_A_1$ - вес тела в воде равен вес тела в воздухе минус сила Архимеда.
$P_2=P_0-F_A_2$ - аналогично с керосином.
$P_0=mg$ ; $F_A=pV_tg$
$P_1=mg-p_1V_tg=p_tV_tg-p_1V_tg=V_tg(p_t-p_1)$ - подставляем, и, т. к. масса равна произведению плотности на объём, то подставим это произведение.
$V_t=frac{P_1}{g(p_t-p_1)}$ - выражаем
$P_2=m_tg-p_2V_tg=p_tV_th-p_2V_tg=V_tg(p_t-p_2)$ - подставляем
$V_t= frac{P_2}{g(p_t-p_2)}$ - выражаем
$frac{P_1}{g(p_t-p_1)} = frac{P_2}{g(p_t-p_2)}$ - уравниваем два полученных выражения.
$P_1g(p_t-p_2)=P_2g(p_t-p_1)$ - решаем пропорцию "методом крестика".
$P_1(p_t-p_2)=P_2(p_t-p_1)$ - сокращаем $g$ .
$P_1p_t-P_1p_2=P_2p_t-P_2p_1$ - раскрываем скобки
$P_1p_T-P_2p_t=P_1p_2-P_2p_1$ - переносим подобные члены в одну сторону
$p_t(P_1-P_2)=P_1p_2-P_2p_1$ - выносим $p_t$ за скобки
$p_t= frac{P_1p_2-P_2p_1}{P_1-P_2} = frac{0,24H*800 frac{kg}{m^3}-0,3H*1000 frac{kg}{m^3} }{0,24H-0,3H}= 1800 frac{kg}{m^3}$ $=1,8 frac{g}{cm^3}$ - выражаем плотность тела и находим её.
$m_t= frac{P_0}{g}$ - т. к. $P_0=F_T=mg$ , то из это формулы можно выразить массу.
$m_t= frac{0,54H}{10 frac{H}{kg} }=0,054kg=54g$ - подставляем, вычисляем.
$V_t= frac{m_t}{p_t}= frac{54g}{1,8 frac{g}{cm^3} }= 30cm^3$ - находим объём тела по стандартной формуле.
$V_p=V_t-V_a_l$ - объём полости равен разнице между объёмом тела и объёмом алюминиевой части тела.
$V_a_l= frac{m_t}{p_0}$ - по идее, чтобы найти объём алюминия, нужно массу алюминия поделить на плотность алюминия, но нам эта масса неизвестна, но нам известна масса всего тела, её мы и возьмём, т. к. массой воздуха в полости можно пренебречь.
$V_a_l= frac{54g}{2,7 frac{g}{cm^3} } =20cm^3$ - подставляем.
$V_p=30cm^3-20cm^3=10cm^3$

Ответ: $V_t=30cm^3$ ; $V_p=10cm^3$