Помогите решить задачу: Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса √159 прямые содержащие противолежащие стороны пересекаются в точках P и Q расстояния от этих точек до центра окружности соответственно равно 15 и 17 найдите длину отрезка PQ. Заранее огромное спасибо.

Лемма. Если из точки P к окружности проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках A и B, а вторая в точках C и D, то
$PAcdot PB=PCcdot PD$ . Это легко следует из подобия по двум углам треугольников PBC и PDA.

Решение исходной задачи. Обозначим центр окружности О, P - точка пересечение лучей AB и DC, Q - точка пересечения лучей BC и AD, PO=15, QO=17, радиус $R=sqrt{159}$ . Пусть также М - точка пересечения окружностей описанных около треугольников BCP и DCQ. Тогда
$angle PMC=180^circ-angle PBC=angle ABC$
$angle QMC=180^circ-angle QDC=angle ADC$
Следовательно $angle PMC+angle QMC=angle ABC+ angle ADC=180^circ$ , т.е. точка М лежит на отрезке PQ.

Теперь если провести секущую из P через О, то по лемме получаем:
$PCcdot PD=(PO+R)(PO-R)=PO^2-R^2=15^2-159=66$ .
А также $PMcdot PQ=PCcdot PD=66.$
Аналогично, если провести секущую из Q через О, то
$QCcdot QB=(QO+R)(QO-R)=QO^2-R^2=17^2-159=130$ .
А также $QMcdot PQ=QCcdot QD=130.$
Таким образом, $PMcdot PQ+QMcdot PQ=(PM+QM)PQ=PQ^2=66+130=196,$ откуда PQ=14.