У прямокутному трикутнику перпендикуляр проведений із вершини прямого кута, ділить гіпотенузу на відрізки 9 см і 16 см. Точка простору віддалена від кожної сторони трикутника на 13 см. Обчисліть відстань від цієї точки до площини трикутника.

Легко понять, что, если соединить точку пространства со всеми тремя сторонами перпендикулярами и спроектировать это всё чудо на площадь треугольника, то точка спроектируется в центр вписанной окружности, а отрезки — в её радиусы. Поэтому для нахождения расстояния от точки до плоскости нужно всего лишь найти этот радиус.

Гипотенуза треугольника равна 25 см. Далее, известный факт, что высота $AH$ , проведённая к гипотенузе $BC$ , может быть вычислена, как $AH = sqrt{BHcdot CH}$ . Отсюда получаем
$AH = sqrt{16 cdot 9} = 12$
Найдём периметр из теоремы Пифагора:
$P = 25 + sqrt{144 + 81} + sqrt{144 + 256} = 25 + 15 + 20 = 60$

радиус окружности:
$r = dfrac{S}{frac{1}{2}P} = dfrac{AH cdot BC}{30} = dfrac{12 cdot 25}{30} = 10.$

$d = sqrt{13^2 - 10^2} = sqrt{69}.$

Ответ: $sqrt{69}$

PS Доказательство формулы $AH = sqrt{BHcdot CH}$ :

$mathrm{tg} : B = dfrac{AH}{BH}$
$mathrm{ctg} : C = dfrac{CH}{AH}$
$B = 90^circ - C$
$mathrm{ctg} : B = mathrm{ctg} : (90^circ - A) = mathrm{tg} : A$

$dfrac{AH}{BH} = dfrac{CH}{AH}$
$AH^2 = BH cdot CH$