Опубликовано 11.06.2017 по предмету Геометрия от Гость >> <<

Вписанная в треугольник ABC окружность касается сторон АВ, BC и АС в точках K L M соответственно. Найти KL, если АМ=2, МС=3 и уголС=π/3. Как решить эту задачу? ответ: 5

Ответ оставил Гость

Радиус окружности (OK = OL = OM = r) находится легко
r = 3*ctg(π/6) = √3;
вообще треугольник CLM равносторонний, и хорда LM = 3 соответствует дуге 2π/3; в решении это не играет роли.
Далее, из теоремы косинусов для треугольника ABC
(x + 2)^2 = (x + 3)^2 + 5^2 - 2*5*(x + 3)*(1/2); где x = BK = BL;
Отсюда x = 5; 
Ясно, что половина KL является высотой в прямоугольном треугольнике BKO с катетами OK = √3 и BK = 5;
BO = √(3 + 25) = 2√7;
KL = 2*OK*BK/BO = 2*√3*5/(2*√7) = 5√(3/7);