895 баллов.Нужна помощь бакалавров.
Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 31 и 32, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Соединим "концы" лучей , получим так же треугольник , обозначим его
$ADG$ , тогда $AK$ будет биссектриса угла $BAC;DAE$ , а значит центры окружностей лежат на одной прямой .
Если провести радиусы в точку их касания прямыми лучами ,то углы
$AGO_{1}=AFO_{2}$ , значит $R_{1} || R_{2}$
Угол $\text{[math]}$ $GKF=90а$
Если угол $GO_{1}K=a FO_{2}K=180-a$
По теореме косинусов
$GK^2 = 2*31^2-2*31^2*cosa FK^2 = 2*32^2+2*32^2*cosa$
$GF^2=(31+32)^2-(32-31)^2 = 63^2-1^2$
откуда
$cosa=frac{1}{63}*-1 GBK=180а-arccos(-frac{1}{63}) BAK=arccos ( - frac{1}{63})-90а BAC=2*arccos(-frac{1}{63})-180а$
$BC=sqrt{63^2-1}=8sqrt{62}$

$R=frac{8sqrt{62}}{2*sinBAC} = 992.25$