В треугольнике АВС, CD-биссектриса. Доказать, что CD^2(в квадрате)=АССВ-АDDB.

Если обозначит дополнительно $angle CDA= beta =b$
то получим из треугольников $Delta ACD; Delta CDB$
По теореме синусов
$frac{AC}{sinb}=frac{AD}{sina } frac{BC}{sinb}=frac{BD}{sina} frac{CD}{sin(a+b)}=frac{AD}{sina} frac{CD}{sin(b-a)}=frac{BD}{sina}$
Приравнивая попарно получаем
$frac{AC}{sinb}=frac{CD}{sin(a+b)} frac{BC}{sinb}=frac{CD}{sin(b-a) } CD^2=frac{AC*BC*sin(a+b)sin(b-a)}{sin^2b}=AC*BC*(1-frac{sin^2a}{sin^2b}) frac{AC*BC}{sin^2b}=frac{AD*BD}{sin^2a} frac{sin^2a}{sin^2b}=frac {AD*BD}{AC*BC} CD^2=AC*BC-AC*BC*frac{AD*BD}{AC*BC} = AC*BC-AD*BD$
чтд