1. У прямой правильной призмы в три раза уменьшили сторону квадратного основания и в два раза уменьшили высоту. Определить, во сколько раз изменился ее объем.
2. Дана правильная четырехгранная пирамида. Сторона основания равна 8. Апофема равна 12. Найти угол между боковым ребром и высотой пирамиды.

1) Обозначим сторону основания (квадрата) буквой $a$ , $h$ - высоту.
$V$ призмы= $S$ осн. $*h$
В нашем случае: $V=a^2h$

После уменьшения величин:

$V=( frac{a}{3} )^2* frac{h}{2} = frac{a^2}{9} *frac{h}{2}= frac{a^2h}{18}$

Сравним былой объем и ставший:

$frac{V_1}{V_2} = frac{a^2h}{ frac{a^2h}{18} } =18$

Ответ: Объем уменьшился в $18$ раз

2) Смотрим рисунок.
Рассмотрим Δ $SHC:$
$SC= sqrt{144+16} = sqrt{160} =4 sqrt{10}$ - по теореме Пифагора.

Рассмотрим Δ $ABC:$
$AC= sqrt{8^2+8^2} = sqrt{8^2*2} =8 sqrt{2} OC=4 sqrt{2}$

Рассмотрим Δ $SOC:$
$SO= sqrt{(4 sqrt{10})^2-(4 sqrt{2} )^2 } = sqrt{160-32} = sqrt{128} = sqrt{64*2} =8 sqrt{2}$
$tg alpha = frac{OC}{SO} = frac{4 sqrt{2} }{8 sqrt{2} } = frac{1}{2} alpha =arctg frac{1}{2}$

Ответ: $arctg frac{1}{2}$