Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найти боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

Пусть дана пирамида SABCD, где ABCD - ромб
AB=BC=CD=AD=5
AC=8
SO - высота пирамиды
SO=7
AO=OC и BO=OD (по свойству ромба)
значит AO=4
SOA - прямоугольный
по теореме Пифагора найдем
$SA= sqrt{AO^2+SO^2}= sqrt{4^2+7^2} = sqrt{16+49} = sqrt{65}$
$AS=SC= sqrt{65}$
$S=a^2*sin alpha$
рассмотрим ACD:
по теореме косинусов:
$AC^2=AD^2+DC^2-AD*DC*cos textless ADC$
$64=25+25-50*cos textless ADC$
$cos textless ADC= frac{14}{50} = frac{7}{25}$
$sin textless ADC= sqrt{1-( frac{7}{25})^2 } = frac{24}{25}$
$S=5^2* frac{24}{25} =25* frac{24}{25} =24$ (см²)
с другой стороны
$S= frac{1}{2} *d_1*d_2$
$24= frac{1}{2} *8*d_2$
$d_2=6$
$BD=6$
BO=OD=3
SOB - прямоугольный
по теореме Пифагора
$SB= sqrt{SO^2+BO^2}= sqrt{49+9} = sqrt{58}$
$SB=SD= sqrt{58}$
Ответ: $sqrt{65}$ см; $sqrt{58}$ см