Точки $A_{1} , B_{1} ,$ и $C_{1}$ - основания высот треугольника ABC, О - центр его описанной окружности.
а) Докажите, что OA перпендикулярно $B_{1} C_{1}$
б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что $A_{1} B_{1} =21, A_{1} C_{1} =17, B_{1} C_{1} =10$

По известному соотношению углов , в треугольнике $AB_{1}C_{1}$ $AC_{1}B_{1} = ACB AB_{1}C_{1} = ABC$
Так как $AOC=2*ABC$
$OAC= 90-ABC BC_{1}C=90-BAC$
значит угол который мы находим равен
$ABC+BAC+BCA-90 = 180-90 = 90$ то есть он перпендикулярен

Положим
$BC=x;AC=z;AB=y$
из подобия треугольников $B _{1}A_{1}C B_{1}C_{1}A A_{1}C_{1}B$
$x=frac{17y}{z}+ frac{21z}{y} z=frac{21x}{y}+frac{10y}{x} y=frac{17x}{z}+frac{10z}{x}$

$x=10sqrt{17} y=3sqrt{85} z= 17sqrt{5} S_{ABC}= 510$