Пускай в трапецию ABCD (основы AD и BC) вписана окружность радиуса r. В треугольники ABC и ACD вписаны окружности с радиусами r(abc) и r(acd) соответственно. Известно, что для радиусов выполняется r:r(abc):r(acd)=9:4:6. Найти соотношения между сторонами трапеции.

Если не ошибаюсь , то решение примерно такое
Заметим что углы $angle BCA= angle CAD$ как на крест лежащие
Тогда как $S_{ABC} + S_{ACD} = S_{ABCD} angle BCA=y frac{BC*AC*siny}{2} + frac{AD*AC*siny}{2} = S_{ABCD}$
Обозначим так же радиусы как $9x;4x;6x$ , не обобщая общности , можно взять $9;4;6$
Так как в трапеция вписана окружность $AB+CD=BC+AD$
$AC*siny(BC+AD) = 18*(BC+AD) AC*siny =18$
С другой стороны площади треугольников через радиусы
$S_{ABC}=(AB+BC+AC)*2 S_{ACD}=(CD+AD+AC)*3$
Откуда
   $(AB+BC+AC)*2=9BC (CD+AD+AC)*3=9AD$
   $AC=3.5*BC-AB AC=2*AD-CD$

Положим что $BC=x; AB=y ; AD=z; CD=n$
Если выразить углы , из теоремы косинусов , соответственно из тех же треугольников , получим
   $cosBCA = frac{53*x-28*y}{28*x-8*y} cosBCA = frac{4*n-5*z}{2*n-4*z}$
Приравнивая
   $frac{53*x-28*y}{28*x-8*y}= frac{4*n-5*z}{2*n-4*z } x+z= y+n , 3.5*x-y=2*z-n$
получим
   $x=frac{4n}{5} y=frac{17*n}{15} z=frac{4n}{3} n neq 0$
Так как $cosBCA=frac{4}{5} sinBCA=frac{3}{5} AC= 18*frac{5}{3} = 30$
Откуда $n=18$

То есть стороны равны
   $AB=frac{17*18}{15} = frac{102}{5} BC=frac{4*18}{5} = frac{72}{5} AD=24 CD=18$