В правильный треугольник со стороной а вписана окружность. Найдите ее радиус.

Правильный треугольник - треугольник, у которого все стороны равны (равны а) и все углы по 60 градусов. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе треугольника, но раз все стороны и углы равны, значит биссектриса является и медианой, и высотой. К тому же точками касания стороны делятся на 2. И отрезки сторон равны $frac{a}{2}$ .
Рассмотрим один маленький прямоугольный треугольник, образованный вершиной треугольника, центром окружности и высотой. Тогда у нас

$tg alpha = frac{r}{ frac{a}{2} }$ , откуда $r= frac{a}{2} *tg alpha$ . Ну а альфа у нас половина угла треугольника, то есть 30 градусов.

$r = frac{a}{2} * tg30= frac{a}{2} * frac{ sqrt{3} }{3} = frac{ sqrt{3}*a }{6}$

Ответ:
$frac{ sqrt{3}*a}{6}$

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы