Дано:
ΔABC, AB=BC, BD⊥AC, PΔ=18, BD=3
Найти:
r (радиус вписанной окружности)
Решение:

Площадь треугольника равна половине произведение его периметра на радиус вписанной окружности:
$S= /frac{1}{2} Pr/Rightarrow r= /frac{2S}{P}$

С другой стороны площадь можно найти как половина произведения основания на высоту:
$S= /frac{1}{2} /cdot AC/cdot BD$
Тогда выражение для радиуса вписанной окружности примет вид:
$r= /frac{AC/cdot BD}{P}$

Основание АС нам неизвестно, поэтому введем обозначения: AC=a, AB=BC=b, и составим систему уравнений:
Первое уравнение: $a+2b=18$ - периметр треугольника.
В качестве второго уравнения рассмотрим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника BCD, где DC=а/2, так как BD - высота равнобедренного треугольника, а следовательно, и медиана.
Второе уравнение: $( /frac{a}{2} )^2+3^2=b^2$
$/begin{cases} a+2b=18 // ( /frac{a}{2} )^2+3^2=b^2/right /end{cases} /// /begin{cases} a=18-2b // ( /frac{18-2b}{2} )^2+9=b^2/right /end{cases} /// ( 9-b)^2+9=b^2 /// 81-18b+b^2+9=b^2 /// 18b=90 /// b=5 // a=18-2/cdot5=8 /// /Rightarrow AC=8$

Подставляем числовые данные в выражения для радиуса:
$r= /frac{AC/cdot BD}{P}= /frac{8/cdot3}{18} = /frac{4}{3}$

Ответ: 4/3