На продолжении стороны АС треугольника АВС отмечена точка М. Известно, что СМ=2АС, угол СВА=15 град., угол САВ=45 град. Найдите угол АМВ.

Исходя из того, что в любом треугольнике сумма углов равна   $180^o / ,$    легко понять, что   $/angle BCA = 120^o / .$

Для любого треугольника верно, что отношение любой его стороны к синусу противолежащего угла – постоянно, тогда:

[1]    $/frac{AB}{ /sin{ 120^o } } = /frac{CB}{ /sin{ 45^o } } / ;$

Проведём   $CN /$    так, чтобы   $/angle BCN = 45^o / .$

Тогда   $/angle CNB = 120^o / .$

Опять же из соотношения синусов:

[2]    $/frac{CB}{ /sin{ 120^o } } = /frac{NB}{ /sin{ 45^o } } / ;$

Перемножим выражения [1] и [2]:

$/frac{AB}{ /sin{ 120^o } } /cdot /frac{CB}{ /sin{ 120^o } } = /frac{CB}{ /sin{ 45^o } } /cdot /frac{NB}{ /sin{ 45^o } } / ;$

$/frac{AB}{ /sin^2{ 120^o } } = /frac{NB}{ /sin^2{ 45^o } } / ;$

[3]   $AB /sin^2{ 45^o } = NB /sin^2{ 120^o } / ;$

Учитывая, что:   $/sin{ 120^o } = /sin{ 60^o } = /frac{ /sqrt{3} }{2} /$    и   $/sin{ 45^o } = /frac{ /sqrt{2} }{2} / ,$    а значит:

$/sin^2{ 120^o } = /frac{3}{4} /$    и   $/sin{ 45^o } = /frac{1}{2} / ,$    получим из выражения [3] :

$AB /cdot /frac{1}{2} = NB /frac{3}{4} / ;$

$AB = NB /frac{3}{2} / ;$

$NB = /frac{2}{3} AB / ;$

Это как раз и позволит разрешить поставленный вопрос.

$NA = /frac{1}{3} AB / ;$

т.е.: NA : NB = 1 : 2 = CA : CM .

По Теореме Фалеса, пропорциональные отрезки на сторонах треугольника отсекаются параллельными прямыми, а значит:

$MB || CN / ;$

$/angle M = /angle NCA = 180^o - 60^o - 45^o = 75^o / ;$

О т в е т : $75^o / .$