25 баллов. 9 класс.
1. Найдите длину дуги окружности, градусная мера которой равна 20°, если площадь круга, ограниченного этой окружностью, равна 36 $/pi$ см².
2. Площадь квадрата, описанного около некоторой окружности, равна 48 см². Найдите радиус этой окружности и площадь вписанного в нее правильного треугольника.

1. $l_{n} = /frac{/pi R}{180} *n$ , где n - градусная мера соответственного центрального угла.
Найдем радиус окружности:
$S= /pi R^{2} =36 /pi ; // R= /sqrt{ /frac{S}{ /pi } } = /sqrt{ /frac{36 /pi }{ /pi } }=6$ , где S - площадь круга.
Найдем длину дуги:
$l_{20}= /frac{6 /pi }{180} *20= /frac{2}{3} /pi$
Ответ: $/frac{2}{3} /pi$ см.
2. Найдем сторону квадрата a:
$S= a^{2} = 48; // a= /sqrt{48} =4 /sqrt{3}.$
Радиус вписанной в квадрат окружности равен:
$R= /frac{a}{2}$ , где a - сторона квадрата.
$R= /frac{4 /sqrt{3} }{2} =2 /sqrt{3}$
Площадь вписанного треугольника равна:
$S= /frac{ c^{2} /sqrt{3} }{4}$ , где c - сторона правильного треугольника.
Необходимо найти сторону правильного треугольника. Так как нам известен радиус описанной около треугольника окружности, то воспользуемся формулой:
$R= /frac{c}{ /sqrt{3} } ; // c=R* /sqrt{3} =2 /sqrt{3} * /sqrt{3} =6.$
Найдем площадь правильного треугольника:
$S= /frac{ c^{2} /sqrt{3} }{4} = /frac{36 /sqrt{3} }{4} =9 /sqrt{3}$ .
Ответ: $9 /sqrt{3}$ см.