Дан треугольник ABC . Из вершины A проведена медиана AM , а из вершины B — медиана BP . Известно, что угол APB равен углу BMA . Косинус угла ACB равен 0,8 и BP = 1 . Найдите площадь треугольника ABC .

Пусть О - точка пересечения медиан треугольника АВС. Треугольники AOP и BOM подобны по двум углам (два угла равны по условию, еще два угла вертикальные). Тогда:
$/frac{AO}{OB} = /frac{PO}{OM}$
Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, то:
$/frac{ /frac{2}{3} AM}{ /frac{2}{3} BP} = /frac{/frac{1}{3}BP}{/frac{1}{3}AM} /// /frac{ AM}{ BP} = /frac{BP}{AM} /// AM^2=BP^2 /// /Rightarrow AM=BP=1$
Если медианы, проведенные к двум сторонам треугольника равны, то и сами стороны также равны. Значит, АС=ВС и треугольник АВС равнобедренный.
Рассмотрим треугольник АМС. По теореме косинусов, учитывая соотношение АС=2СМ, получим:
$AM^2=AC^2+CM^2-2/cdot AC/cdot CM/cdot/cos ACB /// 1^2=(2CM)^2+CM^2-2/cdot 2CM/cdot CM/cdot0.8 /// 1=4CM^2+CM^2-3.2CM^2 /// 1=1.8CM^2 /// CM^2= /frac{1}{1.8} = /frac{5}{9} /// CM= /frac{ /sqrt{5} }{3}$
Следовательно стороны в два раза больше: $AC=BC= /frac{2 /sqrt{5} }{3}$
Тогда площадь треугольника найдем как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними:
$S= /frac{1}{2} /cdot AC/cdot BC/cdot /sinACB /// S= /frac{1}{2} /cdot AC^2/cdot /sqrt{1-/cos ACB} /// S= /frac{1}{2} /cdot ( /frac{2 /sqrt{5} }{3})^2/cdot /sqrt{1-0.8}=/frac{1}{2} /cdot /frac{4/cdot5 }{9} /cdot /frac{3}{5} = /frac{2}{3}$
Ответ: 2/3

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы