Найти объем правильной треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны 8, и наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов.

Дано: MABC- правильная пирамида, МА=МВ=МС=8, найти:V

решение.
$V= /frac{1}{3}*S _{osn} *H$
$S_{osn} = /frac{a^{2} /sqrt{3} }{4}$ площадь правильного треугольника
по условию пирамида правильная, => высота пирамиды проектируется в центр треугольника - точка пересечения медиан, биссектрис, высот, которые в точке пересечение делятся в отношении 2:3 считая от вершины
высота правильного треугольника вычисляется по формуле:
$h= /frac{a /sqrt{3} }{2}$
$/frac{2}{3}h= /frac{2}{3} * /frac{a /sqrt{3} }{2}$
$/frac{2}{3} h= /frac{a /sqrt{3} }{3}$
ΔAMO: AM=8, AO=AM/2 катет против угла 30° в 2 раза меньше гипотенузы.
АО=4
OM²=AM²-AO², OM²=8²-4², OM=4√3
$/frac{2}{3} h=4,=/ /textgreater / /frac{a /sqrt{3} }{3} =4. a=4 /sqrt{3}$
$S _{osn} = /frac{(4 /sqrt{3} ) ^{2} * /sqrt{3} }{4} =12 /sqrt{3}$

$V= /frac{1}{3}*12 /sqrt{3}*4 /sqrt{3} V=48$