В треугольнике ABC бессектриса угла А делит высоту , проведённую из вершины В, в отношении 13:12, считая от точки В. Найдите радиус окружности , описанной около треугольника АВС, если ВС=10.

Чтобы решить задачку надо вспомнить расширенную теорему синусов. В данном случае, так как известна сторона ВС, то лучше воспользоваться стороной ВС и углом ВАС. Синус этого угла предстоит вычислить.

$2R=frac{BC}{sinangle BAC}$

$2R=frac{10}{sinangle BAC}$

$R=frac{5}{sinangle BAC}quad(1)$

Пусть ВН - высота, проведенная к стороне АС.

АК - биссектриса угла ВАС, где К - точка пересечения биссектрисы со стороной ВС.

Точка О - пересечение высоты ВН и биссектрисы АК.

Тогда по свойству биссектрисы, делящей ВН в отношении ВО:ОН=12:13,

из прямоугольного треугольника АВН стороны АВ и АН относятся так же друг к другу.

АВ:АН=13:12.

Заметим, что косинус - это отношение прилежащей стороны к гипотенузе. В данном случае

$cosangle BAH=frac{AH}{AB}$

Нетрудно догадаться, что АН:АВ=12:13.

$cosangle BAH=frac{12}{13}$

По основному тригонометрическому тождеству

$sinangle BAH=pmsqrt{1-cos^2angle BAH}$

$sinangle BAH=pmsqrt{1-left(frac{12}{13}right)^2}$

$sinangle BAH=pmsqrt{1-frac{144}{169}}$

$sinangle BAH=pmsqrt{frac{169-144}{169}}$

$sinangle BAH=pmsqrt{frac{25}{169}}$

$sinangle BAH=pmfrac{5}{13}}$

Заметим, что

$sinangle BAH=sinangle BAC$

Выбираем положительное значение синуса. Так как угол в треугольнике всегда от 0 до 180 градусов. Подставляем в формулу (1).

$R=frac{5}{frac{5}{13}}$

$R=frac{5*13}{5}$

R=13.

Ответ: R=13.

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы

Предметы

Показать ещё