Опубликовано 09.06.2017 по предмету Геометрия от Гость >> <<

Пожалуйста, помогите решить задачу для подготовки к ГИА. В треугольнике ABC угол B равен 120 градусам, сторона AB на 7 корень квадратный из 3 меньше полупериметра треугольника ABC. Найдите радиус окружности, касающейся стороны BC и продолжения сторон AC и AB.

Ответ оставил Гость

Это скорее алгебраическая задача.

Пусть АВ = с; BC = a; AC = b; 

p = (a + b + c)/2;

p - c = z = 7√3; или b + a - c = 2*z;

Радиус r вневписанной окружности, касающийся внешним образом стороны a, равен

r = S/(p - a); или r = 2*S/(b + c - a); 

Теперь числитель и знаменятель этой дроби умножаются на 2*z = b + a - c;

r = 2*S*2*z/((b + c - a)*(b - c  +a)) = 4*S*z/(b^2 - (c - a)^2) = 4*S*z/(b^2 - a^2 - c^2 + 2*a*c);

Теперь надо подставить S = a*c*sin(B)/2 и b^2 = a^2 + c^2 - 2*a*c*cos(B); получается

r = 2*z*a*c*sin(B)/(2*a*c - 2*a*c*cos(B)) = z*sin(B)/(1 - cos(B)); это ответ в общем случае.

Если подставить числа z = 7√3; sin(B) = √3/2; cos(B) = -1/2, то r = 7;

Я решил добавить кое-что - мало ли, кому пригодится.

Соотношение r = S/(p - a); где r - радиус вневписанной окружности, касающийся внешним образом стороны a, доказать очень просто. Если соединить центр О этой окружности с вершинами треугольника АВС, то 

S = Sabo + Saco - Sbco (Sabo - это площадь треугольника АВО, и так далее)

В каждом из этих треугольников радиус вневписанной окружности является высотой к стороне, которая - к тому же - сторона треугольника АВС.

S = AB*r/2 + AC*r/2 - BC*r/2 = (c + b - a)*r/2 = (p - a)*r; где p = (a + b + c)/2;

ЧТД.

Отсюда, кстати, сразу можно получить очень веселые и красивые следствия, например, такое (с учетом формулы Герона для площади)

S^2 = r*ra*rb*rc;

где r - радиус вписанной окружности, ra, rb, rc - радиусы трех вневписанных окружностей треугольника АВС.