В правильной шестиугольной призме АВСDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны корень из 2 .
Найдите угол между плоскостями BCD1 и ABC1.

Для упрощения записей буду читать, что все ребра равны единице - все равно углы останутся прежними.

Введем ПСК с началом координат в центре нижнего основания (см. рисунок). Будем искать уравнения плоскостей. Уравнения имеют вид Xx+Yy+Zz=D.

Координаты точек:

$A(-frac12,frac{sqrt3}2,0);;C(frac12,frac{sqrt3}2,0); ;B(1,0,0);;O(0,0,1)$

Плоскости a1 принадлежат точки B, C, O; поэтому ее уравнение находится из системы

$begin{cases} X=D frac12X+frac{sqrt3}2Y=D Z=D end{cases}$

Решив систему, получаем уравнение плоскости

$sqrt3x+y+sqrt3z=sqrt3$

Аналогично, для второй плоскости

$x+sqrt3y+z=1$

Отсюда получаем вектора нормалей для плоскостей:

$vec{n}_1=(sqrt3,1,sqrt3)$

$vec{n}_2=(1,sqrt3,1)$

По формуле, можно найти косинус угла между плоскостями:

$cos(alpha_1,alpha_2)=dfrac{|vec n_1cdotvec n_2|}{|vec n_1||vec n_2|}=dfrac{3sqrt3}{7cdot5}=dfrac{3sqrt3}{35}$

Искомый угол - арккосинус.

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы

В правильной шестиугольной призме АВСDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны корень из 2 .Найдите угол между плоскостями BCD1 и ABC1.