Доказательство (!!!) теоремы о площади равностороннего треугольника.

Приведён равносторонний треугольник ABC.

a = 5

Найти и доказать его площадь.

Формула площади равностороннего треугольника:

$S = frac{sqrt{3}a^{2}}{4}$

Найдём:

$S = frac{sqrt{3}a^{2}}{4}=frac{sqrt{3}cdot5^{2}}{4}=frac{sqrt{3}cdot 25}{4}=sqrt{3}cdotfrac{25}{4}==sqrt{3}cdot 6,25=10,825...$

10,825... ≈ 10,8

Ответ: 10,8 см²

Докажем площадь равностороннего треугольника через площадь прямоугольника:

В равностороннем треугольнике ΔABC все углы и стороны равны. Следовательно ∢α = ∢β = ∢γ = 60°. Стороны a = a = a = 5 см. Проведём прямую BD от вершины треугольника к его основанию. Получили два прямоугольных треугольника ΔABD и ΔDBC равные между собой. Доказательство равенства полученных треугольников:

*если две стороны одного треугольника и угол между ними соответственно равны двум сторонам другого треугольника и углу между ними, то такие треугольники равны.

∢γ = ∢β = 60° = 60°

(a /2)₁ = (a /2)₂ = 2,5 = 2,5

a₁ = a₂ = 5 = 5

ΔABD = ΔDBC

Найдём полученную прямую BD (высота h):

Высота h - противолежащий катет каждого из прямоугольных треугольников.

Углы ∢γ и ∢β - отношения противолежащего катета к прилежащим катетам каждого из прямоугольных треугольников, то есть к высоте.

$tggamma = tgalpha = frac{h}{frac{a}{2}} sqrt{3}=frac{h}{2,5} BD = h = tggamma cdot frac{a}{2}=tgalpha cdot frac{a}{2} =sqrt{3}cdot 2,5=2,5sqrt{3}$

2,5√3 ≈ 4,3

Найдём площадь ΔABD, достроив его до прямоугольника AFBD, проведя перпендикуляры от сторон треугольника:

ΔABD $= frac{1}{2}cdot frac{a}{2} cdot h=frac{1}{2}cdot 2,5 cdot 4,3= 5,375$

5,375 ≈ 5,4

Равносторонний треугольник ΔABC состоит из прямоугольных треугольников ΔABD и ΔDBC. Найдём площадь равностороннего треугольника ΔABC:

$S = (frac{1}{2}cdot frac{a}{2} cdot h) + (frac{1}{2}cdot frac{a}{2} cdot h) = 2(frac{1}{2}cdot frac{a}{2} cdot h) = 2cdot frac{1}{2}cdot frac{a}{2}cdot h = frac{a}{2} cdot h frac{a}{2} = A h = B S = Acdot B=2,5 cdot 4,3 = 10,75$

10,75 ≈ 10,8

Плошадь прямоугольника AFBD:

$S = acdot b = 2,5cdot 4,3 = 10,8$

Выходит, что:

$Acdot B = acdot b S_{1}=S_{2}$

Следовательно:

$frac{sqrt{3}a^{2}}{4}=acdot b$

Доказано.

P.S. Я добавил эту задачу как пример того, как доказывать теорему площади. Само доказательство я уже сделал, и оно выложено в другом Вашем посте.) Ну и да, признаюсь: чё пунктам-то зря пропадать?)

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы