Точки E и F-середины сторон BC и AD выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что отрезок EF делит диагонали AC и BD в одном и том же отношении.
Назовем прямую, проходящую через середины противолежащих сторон четырехугольника, его средней линией.
Рассмотрим геометрическое место точек D таких, что прямая l, совпадающая с (EF) является средней линией четырехугольника ABCD. Этим ГМТ является прямая l – образ прямой l при гомотетии с центром в точке A и коэффициентом 2 (
). Так как l || l, то для любой точки D∈l отрезки BD и BD делятся прямой l в одном и том же отношении. Так как у четырехугольников ABCD и ABCD диагональ AС и средняя линия l — общие, а диагонали BD и BD делятся прямой l в одном и том же отношении, то утверждение задачи достаточно доказать хотя бы для одного из четырехугольников ABCD. Но это утверждение очевидно для случая, когда (AD) || (BC), то есть, когда ABCD — трапеция.
Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!
