Найти площадь прямоугольного треугольника, если известно, что радиус вписанного в треугольник круга равен r, а описанного - R.

Прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с. По теореме Пифагора:
$a^2+b^2=c^2$
Зная, что гипотенуза равна двум радиусам описанной окружности, запишем:
$a^2+b^2=(2R)^2 a^2+b^2=4R^2$
Добавим к обеим частям неравенства слагаемое 2аb и преобразуем его в правой части:
$a^2+b^2+2ab=4R^2+ 2ab a^2+b^2+2ab=4R^2+ frac{4ab}{2}$
Так как площадь прямоугольного треугольник равна половине произведения его катетов, то:
$(a+b)^2=4R^2+4S a+b=2 sqrt{ R^2+S}$
Зная, что площадь треугольника равна половине произведения его периметр на радиус вписанной окружности, получим:
$S= frac{a+b+c}{2}cdot r$
Подставим вместо а+b и с известные выражения:
$S= frac{2 sqrt{ R^2+S}+2R}{2}cdot r$
Выполняем преобразования:
$frac{S}{r} = sqrt{ R^2+S}+R frac{S}{r} -R= sqrt{ R^2+S}$
Возведем обе части в квадрат:
$frac{S^2}{r^2}- frac{2SR}{r} +R^2 =R^2+S$
R² взаимно уничтожается, сокращаем на S:
$frac{S}{r^2}- frac{2R}{r} =1$
Домножаем на r:
$S-2Rr =r^2 Rightarrow S=2Rr+r^2=r(2R+r)=r(D+r)$
Площадь прямоугольного треугольника равна сумме удвоенного произведения радиусов вписанной и описанной окружности и квадрата радиуса вписанной окружности. (Или: площадь прямоугольного треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на сумму его же с диаметром описанной окружности)
Ответ: 2Rr+r²