В правильной треугольной пирамиде боковое ребро, равное b, наклонено к основанию под углом a. Через вершину пирамиды параллельно стороне основания проведено сечение, наклоненное к плоскости основания под углом B. Определить площадь сечения.

Исходя из геометрии задачи и рисунка 4 в приложении, найдем высоту данной пирамиды:

$sina=frac{h}{b}$

$h=bsina$

Так как в основании пирамиды лежит правильный треугольник, найдем радиус его основания, как показано на рисунке 3 в приложении:

$tga=frac{h}{R}$

$R=frac{h}{tga}=frac{bsina}{tga}=bcosa$

Так как треугольник основания правильный, найдем величину радиуса, как показано на рисунке 3, углы при основании прямоугольных треугольника будут равны, тогда длина стороны данного треугольника будет равна:

$cos30=frac{frac{v}{2}}{R}=frac{v}{2R}$

$v=2Rcos30=Rsqrt3=bsqrt3cosa$

Так как у правильной пирамиды ребра равны, найдем величину апофемы w, исходя из прямоугольного треугольника бокой грани:

$w=sqrt{b^2-(frac{v}{2})^2}=sqrt{b^2-frac{v^2}{4}}=sqrt{b^2-frac{3b^2cos^a}{4}}=frac{b}{2}sqrt{4-3cos^2a}$

Так как проведенное сечение образует еще одну правильную пирамиду, с правильным треугольником в основании, как показано на рисунке 3, но полученная призма является наклонной, и высоты обеих призм совпадают, тогда можем найти высоту проведенную в сечении (обозначенную буквой g) исходя из рисунка 4:

$sinB=frac{h}{g}$