Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника, равны m1 и m2. Найдите медиану, проведенную к гипотенузе.

Чертеж к задаче во вложении.
Пусть медианы АМ=m1 и ВЕ=m2 пересекаются в точке О. Тогда и третья медиана СК проходит через О. Следовательно, ЕК - средняя линия ∆АВС.
Введем обозначения:
СВ=х, СА=у, СК=m3.
В прямоугольном ∆ЕСВ по теореме Пифагора
$EB^2=EC^2+BC^2=(frac{y}{2})^2+x^2=frac{y^2}{4}+x^2=(m_2)^2$
В прямоугольном ∆AСM по теореме Пифагора
$AM^2=AC^2+CM^2=y^2+(frac{x}{2})^2=y^2+frac{x^2}{4}=(m_1)^2$
В прямоугольном ∆KЕС по теореме Пифагора
$CK^2=EC^2+EK^2=(frac{x}{2})^2+(frac{y}{2})^2=frac{x^2}{4}+frac{y^2}{4}=(m_3)^2$
Получим систему уравнений:
$begin{cases} frac{x^2}{4}+y^2=(m_1)^2 x^2+frac{y^2}{4}=(m_2)^2 frac{x^2}{4}+frac{y^2}{4}=(m_3)^2 end{cases} <=>begin{cases} frac{5x^2}{4}+frac{5y^2}{4}=(m_1)^2+(m_2)^2 frac{x^2}{4}+frac{y^2}{4}=(m_3)^2 end{cases} <=> begin{cases} x^2+y^2=frac{4}{5}((m_1)^2+(m_2)^2) x^2+y^2=4(m_3)^2 end{cases} =>$
$4(m_3)^2=dfrac{4((m_1)^2+(m_2)^2)}{5} (m_3)^2=dfrac{(m_1)^2+(m_2)^2}{5} => m_3=sqrt{dfrac{(m_1)^2+(m_2)^2}{5}} Ombem: m_3=sqrt{dfrac{(m_1)^2+(m_2)^2}{5}}.$

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы