Опубликовано 09.06.2017 по предмету Геометрия от Гость >> <<

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. найдите расстояние от вершины А до плоскости А1ВТ, где Т-середина ребра АD

Ответ оставил Гость

Обычным методом (не координатным) тут надо немного потрудиться :) Пирамида A1BTA имеет объем V = AA1*AB*AT/6 = 1/12; если найти площадь треугольника A1TB, то и высота пирамиды к этой грани найдется :).
Эту площадь легче всего искать так. Пусть М - середина А1В = √2, поскольку A1T = BT, то ТМ - высота А1ВТ к А1В. ТМ находится из треугольника МАТ, АТ = 1/2; MA =√2/2; => МТ = √3/2; 
Площадь А1ВТ = S = А1В*ТМ/2 = √2*√3/4 = √6/4;
отсюда h = 3*V/S = (3/12)/(√6/4) = 1/√6;

Для сравнения - координатный метод дает ответ сам собой.
Уравнение плоскости 2x+y+z =1 пишется сразу (это уравнение плоскости "в отрезках", как оси расположены - очевидно - AD это ось X и так далее); ортогональный вектор (2,1,1) имеет норму √6; то есть уравнение плоскости имеет вид nr = 1/√6; где r = (x,y,z); единичный вектор нормали n = (2/√6, 1/√6, 1/√6); в правой части стоит искомое расстояние от начала координат - точки А (0,0,0) до плоскости.