Опубликовано 09.06.2017 по предмету Геометрия от Гость >> <<

У
трапеции АВСД основание АД в 4 раза больше основания ВС, а площадь
трапеции 50. Точка О — точка пересечения диагоналей, точка Р — середина
основания АД, М — точка пересечения АС и ВР, точка N — точка пересечения
ВД и СР. Найти площадь треугольника МNО.

Ответ оставил Гость

Пусть F - точка пересечения АВ и DM, G - точкапересечения AN и CD, К - точка пересечения продолжения AD c прямойCК II BD;
Длятреугольника ABD AO, BP DF - чевианы, и BO/OD = BC/AD = 1/4;
AF*BO*DP/(FB*OD*AP)= 1; AF/FB = 4; (это можно сразу заметить - ВР - медиана ABD, поэтому FO должнобыть параллельно AD... докажите, полезно!)
Потеореме Ван-Обеля AM/MO = AF/FB + AP/PD = 4 + 1 = 5; 
MO =AO/6 = (1/6)*(4/5)AC = (2/15)*AC;
Точнотакже из треугольника ACD получается NO = (2/15)*BD;
Попостроению, CE II BD, то есть треугольник ACK подобен треугольнику MON,коэффициент подобия равен 2/15.
Поскольку BDKC – параллелограмм,  AK = AD + BC, и площадь треугольника ACK равна H*(AD + BC)/2,где H –расстояние от С до AD,то есть – высота трапеции.
То есть площадь ACK равна площади трапеции S.
Отсюда площадь MON равна S*(2/15)^2 = 8/9;