Две окружности, радиус одной из которых вдвое больше радиуса другой, касаются друг друга в точке C. К этим окружностям проведена общая внешняя касательная, касающаяся этих окружностей в точках A и B. Найдите сумму AB+BC, если радиус меньшей окружности равен корени из 3 умножить на разность двух и корня из двух

Пусть K и M - центры малой и большой окружностей соответственно. $KA perp AB, MB perp AB$ . КА = r, MB = 2r.
Проведем прямую КТ, параллельную АВ, $KT perp MB$ .
Из прямоугольного треугольника КТМ, где
КМ = КС + СМ = r + 2r = 3r
МТ = МВ - ТВ = 2r - r = r
$KT = sqrt{KM^{2}-MT^{2}}=sqrt{(3r)^{2} - r^{2}} = 2rsqrt{2}$ .
Значит, АВ = КТ = $2rsqrt{2}$ .

Из треугольника КТМ $cos angle M = frac{MT}{KM} = frac{r}{3r} = frac{1}{3}$

Из треугольника СМВ, где СМ = МВ = 2r, по теореме косинусов
$BC^{2} = CM^{2}+ MB^{2}-2*CM*MB*cos angle M$
$BC^{2} = (2r)^{2}+ (2r)^{2}-2*2r*2r*frac{1}{3}$
$BC^{2} = 8r^{2} -frac{8r^{2}}{3}$
$BC^{2} = frac{16r^{2}}{3}$
$BC = frac{4r}{sqrt{3}}$

$AB + BC = 2rsqrt{2} + frac{4r}{sqrt{3}} = 2r(sqrt{2}+frac{2}{sqrt{3}})= frac{2r(sqrt{6}+2)}{sqrt{3}}$

И если я правильно расшифровала вашу текстовую запись, что $r = sqrt{3}*(2-sqrt{2})$ , то $AB + BC = frac{2*sqrt{3}(2-sqrt{2})(sqrt{6}+2)}{sqrt{3}}=4*(sqrt{2}-1)(sqrt{3}+sqrt{2})$