В треугольнике abc отношения сторон AB:BC:CA=5:7:9; BP и CM - ,bc и cm - биссектрисы, K - середина BC. Найти отношение площадей треугольников ABC и PMK

По теореме о биссектрисе
$frac{BM}{AM}=frac{7}{9} frac{AP}{PC}=frac{5}{7} BM+AM=7y+9y=5x AP+PC=5z+7z=9x BK=KC=frac{7x}{2} BM=frac{35x}{16} AM=frac{45x}{16} AP=frac{45x}{12} PC=frac{63x}{12}$
Найдем углы треугольника по теореме косинусов
$cosABC=frac{81x^2-25x^2-49x^2}{-2*5x*7x}=-frac{1}{10} cosBAC=frac{49x^2-25x^2-81x^2}{-2*5x*9x}=frac{19}{30} cosBCA=frac{25x^2-81x^2-49x^2}{-2*7x*9x}=frac{5}{6} MK=frac{7xsqrt{97}}{16} KP=frac{7sqrt{3}x}{4} MP=frac{21xsqrt{5}}{16}$
По формуле Герона
$p=frac{7x+5x+9x}{2}=frac{21x}{2} S_{ABC}=sqrt{frac{21x}{2}(frac{21x}{2}-7x)(frac{21x}{2}-5x)(frac{21x}{2}-9x)} = frac{21sqrt{11}x^2}{4}$
Теперь площадь MPK но через формулы стороны и углу между ними
sinMPK= $frac{7sqrt{11}}{6sqrt{15}}$
$S_{MPK}=frac{frac{21xsqrt{5}}{16}*frac{7sqrt{3}x}{4}}{2}*frac{7sqrt{11}}{6sqrt{15}}=frac{343sqrt{11}x^2}{256} frac{S_{ABC}}{S_{MPK}}=frac{192}{45}$

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы