В равнобедренный треугольник ABC (AB=BC) вписана окружность. Через точку M, лежащую на стороне AB, проведена касательная к окружности, пересекающая прямую AC в точке N. Найти боковую сторону треугольника ABC, если AC=CN=a, MB=1/8AB.

Продолжим сторону $BC$ в два раза , тогда получим параллелограмм $ABNC$ точка $CC=b$ , заметим теперь что треугольники $MBO; CON$ $O$ точка пересечения $NM$ с $BC$
Откуда $BO=frac{OC}{8} MO=frac{ON}{8}$
Так как касательные проведенные с одной точки равны , то так как $AC$ основание данного треугольника , то точка касания окружности основанием симметрична , то есть $frac{a}{2}$
Если $AF$ $F$ точка касания с окружностью , стороны $AB$ $AF=frac{a}{2}$
$AB=b AM=b-frac{b}{8}=frac{7b}{8} FM=frac{7b}{8}-frac{a}{2}=frac{7b-4a}{8}$
Если $E$ - точка пересечения $MN$ с окружностью
$ME=FM=frac{7b-4a}{8}$
$NE=a+frac{a}{2}=frac{3a}{2}$ , по той же причине
$OE=MO-ME=MO-frac{7b-4a}{8}$
с другой стороны
$OE=frac{3a}{2}-ON MO-frac{7b-4a}{8}=frac{3a}{2}-ON MO=frac{ON}{8} MN=frac{7b+8a}{8}$
Теперь заметим что окружность вписана в треугольники
$AMN;ABC$
Положим что угол $BAC=x$
$S_{AMN}=frac{7b*a*sinx *frac{1}{8}}{frac{7b+8a}{16}+frac{7b}{16}+a} S_{ABC}=frac{ab*sinx*0.5}{2b+a}$
По формуле $r=frac{S}{p}$
подставляя получим
$ab(7b-5a)=0 b=frac{5a}{7}$
это ответ $frac{5a}{7}$