Точка М - середина биссектрисы СК треугольника ABС. На отрезке BM взята точка T так, что $angle CTA=90^circ$ . Докажите, что $angle MCB=angle MTC.$ .

1)Попробуем так , продолжим точку за $M$ , как выглядит на рисунку , так как $CTA=90а$ , то около треугольника можно описать окружность такая что $AC$ будет диаметром , $CK$ биссектриса ,то $TCG=GCA$ , прямоугольник $AGCE$ в нем $CE||AG$ , следовательно $cup AG=cup CE$ ; $MTC=CTE$ ; $MCB=GCA$ откуда следует что равны по соответствующим дугам
$GCA=CTE GCA=MCB CTE=MTC MCB=MTC$
вся это конструкция выглядит довольно очень искусственно, имеется ввиду что исходя из того что $AGCE$ является прямоугольник, авторы задачи видимо на этом и  конструировали эту самую задачу.

2)Теперь докажем численно , то есть для произвольного треугольник, что это и будет выполнятся , к примеру треугольник со сторонами    $12;6;7$
такой треугольник существует исходя из неравенств треугольников (Можно конечно взять стороны за $a;b;c$ и проделать операций которые описаны ниже,но оно будет объемным)
Докажем так предположим что $MCB=MTC$ , то есть что это действительно так , тогда должно выполнятся условие $S_{BTA}+S_{BTC}+S_{CTA}=S_{ABC}$ , если это не так то предположение будет не верным , значит $MCB neq MTC$
$12^2=6^2+7^2-2*6*7*cos2a cos2a=-frac{59}{84}$
по формуле биссектрисы , и зная что $CM=0.5*CK$ , можно найти по формуле биссектрисы
$CM=frac{6*7*cosa}{6+7} CM=frac{6*7*cos(-frac{arccos(-frac{59}{84})}{2})}{13} CM=frac{5*sqrt{10.5}}{13}$
По теореме косинусов из треугольника $BKC KB=frac{84}{13}$
Найдем длину медианы $BM=frac{sqrt{2*KB^2+2*BC^2-CK^2}}{2} BM=frac{24sqrt{14}}{13}$ $S_{ABT}=frac{339sqrt{14}-140sqrt{3}*cos(0.5*cos( -frac{59}{84}))}{184} *0.5*frac{35sqrt{3}}{46}*$
Угол $TMC=arccos( - frac{35}{92sqrt{3}})$ (это когда находя угол $BMC$ , затем отнимая от $pi-BMC-a$ )
Из треугольника $TMC$ , по теореме синусов
$TC=frac{sqrt{1-(frac{35}{92sqrt{3}})^2}*frac{5*sqrt{10.5}}{13}}{sin(arccos(-frac{59}{84})*0.5)}=frac{35*sqrt{3}}{46} AT=sqrt{36-TC^2} = frac{13*sqrt{429}}{46}$
найдем $BT$ по теореме косинусов так же
$BT=frac{339sqrt{14}-140sqrt{3}*cos(0.5*cos( -frac{59}{84}))}{184}$
$S_{BTC} =frac{339sqrt{14}-140sqrt{3}*cos(0.5*cos( -frac{59}{84}))}{184}* frac{35sqrt{3}}{46}*sin(frac{arccosfrac{-59}{84}}{2})*0.5$
$S_{BTA}=sin(frac{pi}{2}-frac{arccosfrac{-59}{84}}{2})*0.5*frac{339sqrt{14}-140sqrt{3}*cos(0.5*cos( -frac{59}{84}))}{184}$ $*frac{35sqrt{3}}{46}$
$S_{CTA}=frac{35*sqrt{3}}{46}*frac{13*sqrt{429}}{46}*0.5$
суммируя получим
   $frac{5sqrt{143}}{4}$
что верно найдя площадь самого треугольник к примеру по формуле Герона является верным ,значит предположение было верным $MTC=MCB$