Все стороны трапеции выражаются целыми числами, одна из её диагоналей равна 12. Найдите боковые стороны и площадь трапеции, если её основания равны 8 и 18.

Пусть наша трапеция $ABCD$ , боковые стороны которые $AB;CD$ , обозначим их как соответственно $n,m$ , пусть $x;y$ отрезки другой диагонали , и пусть $u;v$ отрезки диагонали $12$ ,из подобия треугольников $BOC;AOD$ $O$ пересечения диагоналей , получим
$frac{u}{v}=frac{8}{18} frac{u}{12-u}=frac{4}{9} u=frac{48}{13} v=frac{108}{13}$
По неравенству треугольников $x+frac{48}{13}>8 x+8>frac{48}{13} 8+frac{48}{13}>x$ получим что $x in [5;11]$
а для $AOB$ $n in [5;8]$ , то есть всего 4 значения
но для $n=5;6$ не подходит так как
$x^2+frac{48}{13}^2-2*x*frac{48}{13}*cosBOC=8^2 x^2+frac{108}{13}^2-2*x*frac{108}{13}*-cosBOC=n^2$
когда $n=5;6$ $x<0$ что не подходит , тогда
$n=7;8$ , проверим оба , при $n=7$ , другая часть диагонали не будет входит в отрезок , по тем же самым причинами что сказано вверху, только для треугольников $COD;AOD$ , подходит $n=8$ при этом $m=12$ что верно по неравенству треугольников

Найдем площадь трапеций , опустим высоты , и обозначим проекций высота $x;y$ , по теореме Пифагора
$sqrt{12^2-x^2}=sqrt{8^2-y^2} x+y=10 x=1 y=9$
Высота трапеций равна $h=sqrt{144-81}=sqrt{63} S=frac{8+18}{2}*sqrt{63} = 13sqrt{63}$

Боковые стороны равны $8;12$
Площадь трапеций равна $13sqrt{63}$