Решите намер 1440,1442.

1440) $int { frac{1}{x^{2} -2x} } , dx = int { frac{1}{x(x-2)} } , dx$
назначим:
$frac{1}{x(x-2)} = frac{A}{x} + frac{B}{x-2}$
отсюда:
1=A(x-2)+Bx
1=Ax-2A+Bx
1=(A+B)x-2A ⇒ $left { {{-2A=1} atop {A+B=0}} right. left { {{A=- frac{1}{2} } atop {B= frac{1}{2} }} right.$
получается что:
${ frac{1}{x^{2} -2x} } =frac{A}{x} + frac{B}{x-2} =- frac{1}{2x} + frac{1}{2(x-2)}$
отсюда
$int { frac{1}{x^{2} -2x} } , dx=int ({- frac{1}{2x} + frac{1}{2(x-2)} }) , dx=- frac{1}{2} lnx+ frac{1}{2} ln(x-2)=$ $frac{1}{2} ln(x(x-2))+C$

1442) $int { frac{1}{ x^{4}- x^{2} } } , dx = int { frac{1}{ x^{2}( x^{2} -1) } } , dx= int { frac{1}{ x^{2}(x-1)(x+1) } } , dx$
назначим:
$frac{1}{ x^{2}(x-1)(x+1) }= frac{Ax+B}{ x^{2} }+ frac{C}{x-1} + frac{D}{x+1}$
1=(Ax+B)(x²-1)+Cx²(x+1)+Dx²(x-1)
1=Ax³-Ax+Bx²-B+Cx³+Cx²+Dx³-Dx²
1=(A+C+D)x³+(B+C-D)x²-Ax-B
⇒ -B=1 ⇒ B=-1
-A=0 A=0
B+C-D=0 C-D=1
A+C+D=0 C+D=0
$left { {{C=1+D} atop {1+D+D=0}} right. left { {{C=1- frac{1}{2}= frac{1}{2} } atop {D=- frac{1}{2} }} right.$
Получим
$frac{1}{ x^{2}(x-1)(x+1) }= frac{-1}{ x^{2} } + frac{1}{2(x-1)} - frac{1}{2(x+1)}$
отсюда
$int { frac{1}{ x^{4}- x^{2} } } , dx = int {(frac{-1}{ x^{2} } + frac{1}{2(x-1)} - frac{1}{2(x+1)} )} , dx =$ $frac{1}{x} + frac{1}{2} ln(x-1)- frac{1}{2}ln(x+1)= frac{1}{x} + frac{1}{2} ln( frac{x-1}{x+1} )$ +C