Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды,равное12см,образует с плоскостью основания угол 60градусов.найдите боковую поверхность пирамиды и объем

$SABCD -$ правильная четырехугольная пирамида

$SO =H -$ высота пирамиды

$SK=l-$ апофема

$SC=12$ см

$textless SCO=60^circ$

Так как $SABCD$ - правильная четырехугольная пирамида, значит в основании лежит квадрат, т.е. $ABCD$

$AC$ ∩ $BD=O$

$V_{n} = frac{1}{3} S_{ocn}*H$

$S_{bok}= frac{1}{2} P_{ocn}*l$

$SO$ ⊥ $(ABC)$ , значит Δ $SOC-$ прямоугольный

$frac{SO}{SC} =sin 60^circ$

$SO=SC*sin60^circ =12* frac{ sqrt{3} }{2} =6 sqrt{3}$ см

$frac{OC}{SC} =cos60^circ$

$OC=SC*cos60^circ =12* frac{1}{2} =6$ см

$AC=2OC=2*6=12$ см

$AC=d$ - диагональ квадрата

$d=a sqrt{2}$

$a sqrt{2} =12$

$a= frac{12}{ sqrt{2} } = frac{12 sqrt{2} }{2} =6 sqrt{2}$ см, где $a$ - сторона квадрата

$S_{ocn}=a^2=(6 sqrt{2} )^2=36*2=72$ см²

$V_{n}= frac{1}{3} *72*6 sqrt{3} =144 sqrt{3}$ см³

$P_{ocn}=4a=4*6 sqrt{2}=24 sqrt{2}$ см

$OK= frac{1}{2} AD= frac{1}{2}*6 sqrt{2} =3 sqrt{2}$ см

Δ $SOK$ - прямоугольный

по теореме Пифагора найдём

$SK= sqrt{SO^2+OK^2}= sqrt{(6 sqrt{3})^2+(3 sqrt{2} )^2 } = sqrt{108+18}= sqrt{126}=$ $3 sqrt{14}$ см

$S_{bok}= frac{1}{2}*24 sqrt{2} *3 sqrt{14}=36 sqrt{28}=36*2 sqrt{7} =72 sqrt{7}$ см²

Ответ: $72 sqrt{7}$ см² ; $144 sqrt{3}$ см³