В отделе 8 сотрудников. Вероятность того, что каждый из них вовремя доберется до места работы, составляет 0,75. С какой вероятностью к началу рабочего дня на рабочих местах будут 4 сотрудника, не менее 6, хотя бы один опоздает.

Для начала выберем сотрудников, которые прибудут на рабочее место прямо к началу дня. Это можно сделать числом способов, равным числу сочетаний из 8 по 4, а именно $frac{8!}{4!*4!} = frac{5*6*7*8}{4*3*2} = 70$ . 4 работника прибудут вовремя, для каждого вероятность $frac{3}{4}$ , то есть для 4 вместе вероятность будет $( frac{3}{4} )^{4}$ (по формуле перемножения вероятностей для независимых событий), а четверо других должны опоздать с вероятностью $( frac{1}{4} )^{4}$ , то есть общая вероятность равна $frac{70* 3^{4} }{ 4^{8} } = 0.087$ .
Для не менее 6 воспользуемся теми же рассуждениями, только посчитаем, что должны прийти ровно 6, ровно 7, ровно 8, и вероятности сложить
Для 6. $frac{28* 3^{6} }{ 4^{8} } = 0.311$
Для 7. $frac{8* 3^{7} }{ 4^{8} } = 0.267$
Для 8. $frac{ 3^{8} }{ 4^{8} } = 0.1$
То есть сумма равна 0.678
Вероятность, что придут все равна 0.1, то есть то что один опоздает - это вероятность того, что все не придут, то есть 1 - 0.1 = 0.9