Определить площадь фигуры ограниченной линиями
y=x^3-6x^2+11x-6 и осью Ох

$displaystyle f(x)=x^3-6x^2+11x-6;$

$displaystyle f(x)=0;$
$displaystyle 0=x^3-6x^2+11x-6;$
Корень $displaystyle x=2$ легко угадывается. Тогда:
$displaystyle 0=(x-2)(x^2-4x+3);$
$displaystyle 0=(x-1)(x-2)(x-3);$
$displaystyle x=1lor x=2lor x=3;$

$displaystyle S_1=intlimits_1^2f(x)dx=Big(frac{x^4}{4}-2x^3+frac{11x}{2}-6xBig)bigg|_1^2=4-16+11-12-frac{1}{4}+2-frac{11}{2}+6=23-28-frac{1+22}{4}=-5-frac{23}{4}=-frac{20+23}{4}=-frac{43}{4};$

$displaystyle S_2=intlimits_2^3f(x)dx=Big(frac{x^4}{4}-2x^3+frac{11x}{2}-6xBig)bigg|_2^3=frac{81}{4}-54+frac{33}{2}-18-4+16-11+12=28-87+frac{81+66}{2}=frac{147}{4}-59=frac{147-4(60-1)}{4}=-frac{89}{4};$

$displaystyle |S_1|+|S_2|=frac{43}{4}+frac{89}{4}=frac{132}{4}=boxed{33}phantom{.}.$