Найти координаты центра и радиус круга 4x^2+4y^2-4x+20y-23=0

$displaystyle 4x^2+4y^2-4x+20y-23=0.$

Решим для $displaystyle x$ :
$displaystyle 4x^2-4x+(4y^2+20y-23)=0;$
$displaystyle x=frac{4pmsqrt{16-16(4y^2+20y-23)}}{8}=frac{1}{2}pmfrac{sqrt{16-64y^2-320y+368}}{sqrt{8^2}}=$
$displaystyle =frac{1}{2}pmsqrt{frac{384-64y^2-320y}{64}}=frac{1}{2}pmsqrt{-y^2-5y+6}.$

Найдём $displaystyle x$ при $displaystyle y=0:$
$displaystyle x=frac{1}{2}pmsqrt{6}.$
Абсцисса центра находится посередине между найденными:
$displaystyle O_x=frac{frac{1}{2}-sqrt{6}+frac{1}{2}+sqrt{6}}{2}=frac{1}{2}.$

Решим для $displaystyle y$ :
$displaystyle 4y^2+20y+(4x^2-4x-23)=0;$
$displaystyle y=frac{-20pmsqrt{400-16(4x^2-4x-23)}}{8}=-frac{5}{2}pmfrac{sqrt{400-64x^2+64x+368}}{sqrt{8^2}}=$
$displaystyle =pmsqrt{frac{768-64x^2+64x}{64}}-frac{5}{2}=pmsqrt{-x^2+x+12}-frac{5}{2}.$

Найдём $displaystyle y$ при $displaystyle x=0:$
$displaystyle y=pmsqrt{12}-frac{5}{2}.$
Ордината центра находится посередине между найденными:
$displaystyle O_y=frac{sqrt{12}-frac{5}{2}-sqrt{12}-frac{5}{2}}{2}=-frac{5}{2}.$

Центр окружности находится в точке $displaystyle O=Big(O_x;O_yBig)=boxed{{Big(dfrac{1}{2};-dfrac{5}{2}Big)}}phantom{.}.$

Найдём ординаты точек на окружности с абсциссой её центра:
$displaystyle y=pmsqrt{-O_x^{phantom{x}2}+O_x+12}-frac{5}{2}=pmsqrt{-Big(frac{1}{2}Big)^2+frac{1}{2}+12}-frac{5}{2}=pmsqrt{frac{1}{4}+12cdotfrac{4}{4}}-frac{5}{2}=$
$displaystyle =pmsqrt{frac{1+48}{4}}-frac{5}{2}=pmfrac{sqrt{49}}{sqrt{4}}-frac{5}{2}=frac{pm 7-5}{2}.$

Половина расстояния между найденными ординатами есть радиус:
$displaystyle r=frac{left|frac{7-5}{2}-frac{-7-5}{2}right|}{2}=frac{left|frac{7}{2}+frac{7}{2}right|}{2}=frac{left|7right|}{2}=boxed{frac{7}{2}}phantom{.}.$