Вычислить определенный интеграл. ( сделать замену x=sinx) $intlimits^1_0 { sqrt{1- x^{2} } - x^{2} sqrt{1- x^{2} } } , dx$

$int _0^1(sqrt{1-x^2}-x^2sqrt{1-x^2})dx==[, x=sint,dx=costcdot dt,t=arcsinx,t_1=arcsin0=0,t_2=arcsin1=frac{pi}{2}, ]==int _0^{frac{pi}{2}}(sqrt{1-sin^2t}-sin^2tsqrt{1-sin^2t})cdot costcdot dt==int _0^{frac{pi}{2}}(sqrt{cos^2t}-sin^2tsqrt{cos^2t})cdot costcdot dt==int_0^{frac{pi}{2}}cos^2tcdot dt-int _0^{frac{pi}{2}}sin^2tcdot cos^2tcdot dt==int_0^{frac{pi}{2}}frac{1+cos2t}{2}dt-int _0^{frac{pi}{2}}frac{1}{4}sin^22tcdot dt=$

$=(frac{1}{2}t+frac{1}{4}sin2t)|_0^{frac{pi}{2}}-frac{1}{4}int _0^{frac{pi}{2}}frac{1-cos4t}{2}dt==frac{pi}{4}-frac{1}{8}(t-frac{1}{4}sin4t)|_0^{frac{pi}{2}}=frac{pi}{4}-frac{1}{8}(frac{pi}{2}-0)=frac{3pi}{16}$

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы