Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно.
Найдите радиус данной окружности, если угол А =30 градусов, В1С1=5 и площадь треугольника АВ1С1 в три раза меньше площади четырехугольника ВСВ1С1.

Треугольники ABC и ABC₁ подобны и их площади относятся как 4:1. Значит AC=2AC₁. Значит, для тр-ка ACC1 по теореме косинусов
$CC_1^2=AC_1^2+4AC_1^2-2cdot 2AC_1cdot AC_1cos 30^circ,$ т.е. $CC_1=AC_1sqrt{5-2sqrt{3}}.$ Тогда по теореме синусов для этого же треугольника $CC_1/sin30^circ=AC_1/sinangle C_1CA$ , т.е. $sinangle C_1CA=1/left(2sqrt{5-2sqrt{3}}right)$ . По теореме синусов для тр-ка B₁CC₁ получаем $B_1C_1/sinangle C_1CB_1=2R,$ откуда $R=5sqrt{5-2sqrt{3}}.$