Помогите решить предел

Ладно. Кто как его брал не знаю. Поясню, как получилось у меня.
$lim_{x to infty} frac{2^{ sqrt{x+1}- sqrt{x} } }{x+1}$ (1)
Глядя на этот предел кажется мне, что предел числителя будет конечен.
Попробуем это подтвердить (опровергнуть.) Прежде всего перейдем к пределу в показателе. Т.е Если в выражении
$lim_{x to x_{0}} 2^{f(x) }$ , a не зависит от x и
существует конечный предел функции f(x) в точке x0, то верно:
$lim_{x to x_{0}} a^{f(x) }= a^{lim_{x to x_{0}} f(x) }$

Хорошо, значит нам нужно найти предел:
$lim_{x to infty} ( sqrt{x+1}- sqrt{x} )$ (2)

$lim_{x to infty} ( sqrt{x+1}- sqrt{x} )=lim_{x to infty} (sqrt{x}( sqrt{1+ frac{1}{x} }- 1 ))$ (3)
Введем новую переменную
$t= sqrt{x}$
Тогда если x⇒∞ то и t⇒∞, а наш предел (3) принимает вид:
$lim_{x to infty} (sqrt{x}( sqrt{1+ frac{1}{x} }- 1 ))=lim_{t to infty} (t( sqrt{1+ frac{1}{t^2} }- 1 ))$ (4)
Смотрим далее соотношение:
$sqrt{1+ frac{1}{t^2}$ на основании формулы бинома Ньютона для дробной степени:
$(1+ alpha )^{1/n}=1+ frac{ alpha }{n} +o( alpha )$ где $alpha textless 1$ (а у нас при $t to infty$ $frac{1}{t^2} to 0$ )
заменяем эквивалентным выражением
$sqrt{1+ frac{1}{t^2}}=1+ frac{1}{2t^2}$

Тогда (4) преобразуется к виду:
$lim_{t to infty} (t( sqrt{1+ frac{1}{t^2} }- 1 ))=lim_{t to infty} (t*( 1+ frac{1}{2t^2}+o( frac{1}{t^2} )- 1 ))=$
$lim_{t to infty} (t*( 1+ frac{1}{2t^2}+o( frac{1}{t^2} )- 1 ))=lim_{t to infty} (t*( frac{1}{2t^2}))=$ $=lim_{t to infty} ( frac{t}{2t^2})=lim_{t to infty} ( frac{1}{2t})=0$
Т.е предел (4) (показатель степени) стремится к 0. Значит числитель дроби стремится к 1. А предел знаменателя ∞. т.е. получаем предел вида:
$frac{1}{infty}$ , ну а это 0.
Таким образом исходный предел (1) равен нулю:
$lim_{x to infty} frac{2^{ sqrt{x+1}- sqrt{x} } }{x+1} =0$