Вычислить площадь фигуры расположенной в первой координатной четверти и ограниченной линиями:
y=24* sqrt[3]{x} ; y=8x

Значит найдем точки пересечения графиков в 1-й четверти
8x=24 sqrt[3]{x}
x=3sqrt[3]{x}

 x^{3} =27x
x^3-27x=0
x(x^2-27)=x(x- sqrt{27} )(x+ sqrt{27} )=0
отсюда точки пересечения х=0, x= sqrt{27} , x=- sqrt{27}
Нас интересуют только первые два корня.
Строим рисунок, см вложение. Из рисунка видно, что полощадь искомой фигуры равна разности площадей. Площадь криволинейной трапеции - площадь треугольника. В формулах так:

S=S_{1}-S_2= intlimits^{x1}_0 {24 sqrt[3]{x} } , dx - intlimits^{x1}_0 {8x } , dx   (1)
где x1= sqrt{27}

Считаем интегралы в (1)
intlimits^{x1}_0 {24 sqrt[3]{x} } , dx =
intlimits^{x_1}_0 {24 sqrt[3]{x} } , dx = 24 intlimits^{x_1}_0 { x^{1/3} } , dx =24*( frac{x^{4/3}}{4/3} ) |_0^{x_1}= 24*(3 frac{x^{4/3}}{4} ) |_0^{x_1}=
= 6*3x^{4/3} |_0^{x_1}= 18*x_1^{4/3}=18*27^{2/3}=3^{3*2/3}=18*3^2=18*9=162 (2)

intlimits^{x1}_0 {8x } , dx=8 intlimits^{x1}_0 {x } , dx= frac{8x^2}{2} |_0^{x1}=4x_1^2= 4*27=108  (3)
 на основании  (2) и (3) получаем
S=162-108=54
 Ответ S=54

Оцени ответ
Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Загрузить картинку
×