Sqrt(1-x^2)*dx в пределах от 1 до 0
С решением пожалуйста

$intlimits^0_{-1} {sqrt{1-x^2}} , dx = (*)$

Найдём неопределённый интеграл.

Сделаем замену
$x=sin{t}; dx=cos{t} , dt (*)= int {sqrt{1-sin^2{t}}} cdot cos{t} ,dt = int{sqrt{cos^2{t}}} cdot cos{t} ,dt = int cos^2{t} ,dt = =int {frac{1+cos{2t}}{2}} ,dt = frac{1}{2} cdot (int {1} ,dt + int {cos{2t}} ,dt)=frac{1}{2}cdot (t } + frac{1}{2} int {cos{2t}} ,d(2t))=$ $frac{1}{2}cdot ( t + frac{1}{2} sin{2t}})+C=frac{1}{2}cdot (t + frac{1}{2} sin{2t}})}+C = (*) x=sin{t}; t =arcsin , x (*)=frac{1}{2}cdot (arcsin , x + frac{1}{2} sin{(2cdot arcsin , x)}})}+C$

Вычислим определённый интеграл
$left.{ frac{1}{2}cdot (arcsin , x + frac{1}{2} sin{(2cdot arcsin , x)}})} }right|_{ -1 }^{ 0 }= =frac{1}{2} (arcsin 0 + frac{1}{2} sin{(2cdot arcsin 0)}}- (arcsin (-1) + frac{1}{2} sin{(2cdot arcsin(-1))} =frac{1}{2} (0 +0}- (-frac{pi}{2}+ frac{1}{2} sin{0}))=frac{1}{2} cdot (frac{pi}{2}-0)=frac{pi}{4}$