Небольшой пример. Надеюсь, на лучший ответ

$( frac{4}{9} )^{x+3} textless 1 ( frac{4}{9} )^{x+3} textless ( frac{4}{9} )^0 x+3 textgreater 0 x textgreater -3$

Отрезок в дано: $[-6;3]$
Мы получили отрезок: $(-3;+infty)$

Объединяем и получаем: $(-3;3]$

Считаем целочисленные решения неравенства, входящие в промежуток
$-2,-1,0,1,2,3$ . Итого: 6 штук.

Ответ: $6$