Какую наименьшую площадь может иметь 12-угольник, все вершины которого лежат в узлах решетки?

Скорее всего, речь идет о правильном 12-угольнике.
Для любого правильного n-угольника площадь $S=dfrac{na^2}{4tgfrac{180^o}{n}}$ .
Для правильного 12-угольника n=12.
Очевидно, что наименьшая площадь достигается при длине стороны а=1 (два соседних узла решетки).
Вычисляем:
$S=dfrac{12*1^2}{4tgfrac{180^o}{12}}=S=dfrac{12}{4tg15^o}=dfrac{3}{tg15^o}=3ctg15^o= 3ctg(45^o-30^o)= =3*dfrac{ctg45^octg30^o+1}{ctg30^o-ctg45^o}=3*dfrac{ sqrt{3} +1}{sqrt3-1}= dfrac{3( sqrt{3}+1)^2 }{2}=dfrac{3(4+2 sqrt{3}) }{2}= =6+3 sqrt{3}$

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы