Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогресси , если сумма всех членов прогресси равна 2 , а сумма квадратов всех членов этой прогресси равна 5.

Для исходной бесконечно убывающей геометрической прогрессии ( $b_n$ ) имеем по условию: $S=b_1+b_2+b_3+...=dfrac{b_1}{1-q}=2$ , где q - знаменатель исходной прогрессии.
Теперь рассмотрим прогрессию ( $c_n$ ), составленную из квадратов членов исходной прогрессии, т.е. $c_1=(b_1)^2, c_2=(b_2)^2, c_3=(b_3)^2, ...$ . Эта новая прогрессия - также геометрическая бесконечно убывающая. Следовательно, $tilde{S}=c_1+c_2+c_3+...=dfrac{c_1}{1-tilde{q}}=5$ , где $tilde{q}$ - знаменатель уже новой прогрессии.
$tilde{q}=frac{(b_2)^2}{(b_1)^2}=(frac{b_2}{b_1})^2=q^2$
Преобразуем:
$tilde{S}=5=dfrac{c_1}{1-tilde{q}}=dfrac{(b_1)^2}{1-q^2}}$
Получим систему уравнений: $begin{cases} frac{b_1}{1-q}=2 frac{(b_1)^2}{1-q^2}=5 end{cases}$
Делим первое на второе и запишем в первой строке системы:
$begin{cases} frac{b_1(1-q)(1+q)}{(1-q)(b_1)^2}= frac{2}{5} b_1=2-2q end{cases}$ <=> $begin{cases} frac{1+q}{b_1}= frac{2}{5} b_1=2-2q end{cases}$
$frac{1+q}{2-2q}= frac{2}{5} 5+5q=4-4q 9q=- 1 q=- frac{1}{9}$
Ответ: $- frac{1}{9}$