Найти общее решение диффура методом вариации производных(методом Лагранжа)
y+y=-ctg²(x)

Данное уравнение - линейное неоднородное. Соответствующее однородное уравнение имеет вид
$y + y = 0$ .
Характеристическое уравнение имеет вид
$k^2 + 1 = 0$ .
Оно имеет комплексные сопряженные корни
$k_1_,_2 = pm i$ ,
значит общее решение однородного уравнения имеет вид
$tilde{y} = C_1cosx + C_2sinx$ .
Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде
$y = C_1(x)cosx + C_2(x)sinx$ ,
где $C_1(x),C_2(x)$ - некоторые пока неизвестные функции. Составим систему, из которой мы сможем найти эти неизвестные функции:
$left { {{C_1(x)cosx + C_2(x)sinx = 0} atop {-C_1(x)sin(x)+C_2(x)cosx=-ctg^2(x)}} right.$
Определитель данной системы равен:
$W = leftbegin{vmatrix}cosx&sinx-sinx&cosxend{vmatrix}right = cos^2x + sin^2x = 1$ .
Дополнительные определители равны:
$Delta_{C_1(x)} = leftbegin{vmatrix}0&sinx-ctg^2x&cosxend{vmatrix}right = ctg^2x*sinx = frac{cos^2x}{sinx} Delta_{C_2(x)} = leftbegin{vmatrix}cosx&0-sinx&-ctg^2xend{vmatrix}right = -cosx*ctg^2x = -frac{cos^3x}{sin^2x}$ .
Решение системы таково:
$left { {{C_1(x)= frac{Delta_{C_1(x)}}{W} } atop {C_2(x)= frac{Delta_{C_2(x)}}{W}}} right. left { {{C_1(x)= frac{cos^2x}{sinx}} atop {C_2(x) = -frac{cos^3x}{sin^2x}}} right.$ .
Это производные, а нам нужны сами функции. Значит ищем интегралы:
$C_1(x) = int{frac{cos^2x}{sinx}} , dx = int{frac{1-sin^2x}{sinx}} , dx = int{frac{dx}{sinx}}-int{sinx}} , dx =$ $-int{frac{d(cosx)}{sin^2x}} , dx + cosx =int{frac{d(cosx)}{cos^2x-1}} , dx + cosx = frac{1}{2} ln| frac{cosx-1}{cosx+1} | + cosx + C_1$ .
$C_2(x) = -int{ frac{cos^3x}{sin^2x}} , dx = -int{ frac{cos^2xd(sinx)}{sin^2x}} = int{ frac{sin^2x-1}{sin^2x}},d(sinx) = int{d(sinx)}$ $-int{ frac{d(sinx)}{sin^2x}} = sinx + frac{1}{sinx} + C_2$ , где $C_1,C_2$ - произвольные константы.
Осталось только записать решение в общем виде:
$y = (frac{1}{2} ln| frac{cosx-1}{cosx+1} | + cosx + C_1)cosx + (sinx + frac{1}{sinx} + C_2)sinx$ .
При желании можно преобразовать полученный ответ.