Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми:
r = 8sin4α

Уравнение задаёт в полярной системе координат четырёхлепестковую розу. Лепестки будут располагаться в секторах, ограниченных прямыми

$varphi =0,; varphi =frac{pi}{4},; varphi =frac{pi}{2},; varphi =frac{3pi}{4},; varphi =pi ,; varphi =frac{5pi}{4},; varphi =frac{3pi}{2},; varphi =frac{7pi}{4},$

так как

$r=8sin4varphi geq 0; ; Rightarrow ; ; sin4varphi geq 02pi n leq 4varphi leq pi +2pi n; , ; nin Zfrac{pi n}{2} leq varphi leq frac{pi}{4}+frac{pi n}{2}n=0:; 0 leq varphi leq frac{pi}{4}n=1:; frac{pi}{2}leq varphi leq frac{3pi}{4}n=2:; pi leq varphi leq frac{5pi}{4}$

$n=3:; frac{3pi}{2} leq varphi leq frac{7pi }{4}$

При n=4,5,... секторы будут повторяться.
Достаточно подсчитать площадь одного лепестка и умножить её на 4, чтобы найти площадь розы.

$S=frac{1}{2}int _{varphi _1}^{varphi _2}r^2(varphi )dvarphi S=4cdot frac{1}{2}int _0^{frac{pi}{4}}, 8^2sin^24varphi dvarphi =2cdot 8^2int _0^{frac{pi}{4}}frac{1-cos8varphi }{2}dvarphi ==8^2int _0^{frac{pi}{4}}(1-cos8varphi )dvarphi =8^2(varphi -frac{1}{8}sin8varphi )|_0^frac{pi}{4}==8^2(frac{pi}{4}-frac{1}{8}sin2pi )=16cdot pi$